e y π dos irracionales trascendentes

Superciencia. Número 131

Leonhard Paul Euler es uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Nacido en Suiza a principios del siglo XVIII, pronto se convertiría en un genio de las matemáticas. El número e, uno de los números que hoy nos ocupa, debe su nombre a este matemático de la Universidad de Basilea Suiza y discípulo de otro grande, el controvertido Johann Bernoulli, perteneciente a la dinastía de los Bernoulli.

e es un irracional como su “hermano ” , es decir, no se puede expresar como la razón de dos enteros, tampoco como decimales periódicos.

e se define de varias formas, la más elegante por su simpleza es la siguiente:

(1)   e = 

La expresión de e, con dos cifras decimales es fácil de calcular por un estudiante de secundaria, tomando, para ello, hasta el quinto término de (1):

e = Esto nos da 1+1+0.500+0.166 ~ 2.7

e es un enigmático número que, a pesar de ser un distinguido habitante del “mundo de las ideas matemáticas”, igual que su hermano , continuamente irrumpe en el “imperfecto mundo real” para ayudar a solucionar problemas, como calcular interés compuesto o la edad de ciertos fósiles, conociendo la vida media del isótopo carbono 14 y la proporción de isótopos de carbono presentes.

Los números y son irracionales porque no se pueden expresar como la razón de dos números enteros; o bien, no pueden ser representados por un numeral decimal exacto o un decimal periódico.

e =2.718281828459045 …

 = 3.141592653589793 …

Aquí expresamos estos dos números con 15 cifras decimales; sin embargo, las cifras decimales no tienen fin y tampoco son periódicas, es decir, no se repiten las secuencias. Generalmente los estudiantes e incluso algunos profesionistas consideran que números como 1.333333333333333… son irracionales porque se prolongan las cifras decimales; no obstante, este número se puede expresar como la razón de dos enteros que son el 4 y el 3 (). En cambio e y  no cumplen con la anterior propiedad.  

Los irracionales surgen desde la época de Pitágoras, al descubrir que la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos igual a uno es un número inconmensurable, no es un racional, es decir, es irracional. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos igual a 1 es  .

Arquímedes refiere un método para calcular el número  con dos decimales de precisión, = 3.14 que para efectos prácticos es muy útil.

y e, además de irracionales son trascendentes, ya que no son la solución de ninguna ecuación algebraica. En cambio es irracional porque no se puede expresar como razón de dos enteros, sin embargo no es trascendente porque este número es la solución de la ecuación  

Por último, recordemos que  y e son dos de los cinco números que pertenecen a la identidad más bella de las matemáticas, la Identidad de Euler


Bibliografía

Halliday, D. Resnick, R. y Krane, K. (1994). Física (4a ed.). México, D.F.: Editorial Continental.

Scheinerman, E. (2017). The Mathematics Lover´s Companion. USA: Yale University Press.