El número ᵠ, un divino irracional

Superciencia. Número 118

¿Cuál de las siguientes figuras geométricas considera usted que es la más bella?

Existe un número fascinante y misterioso que, como todo habitante del “mundo de las ideas”, establece relaciones entre objetos o fenómenos del mundo real, aparentemente desconectados, como la forma de las conchas espirales de los moluscos (A), la disposición de los pétalos de una rosa (B), la secuencia de Fibonacci (C) o la forma de las galaxias (D).

Este número, conocido desde el siglo IV a. C. en Grecia, representa una proporción geométrica conocida como proporción áurea, número áureo, sección áurea, incluso, un “irreverente” autor italiano la llamó proporción divina.

Euclides, en sus Elementos, definió así la proporción áurea:

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.

Esto significa lo siguiente:

  • Dada una recta x ( ver figura).
  • Secciónese  la recta x en dos segmentos, el segmento mayor de medida 1 (ver figura) y el segmento menor x-1 (ver figura).
  • Dividimos la longitud de la recta (x) entre el segmento mayor (que mide 1)
  • Dividimos el segmento mayor (que mide1) entre el segmento menor (que mide x-1) 
  • Los segmentos guardan la proporción áurea si

Despejando x de la anterior igualdad tenemos que x=, x es el número áureo llamado ᵠ≈1.6180339887…, es un número irracional ya que no se puede expresar como el cociente de dos enteros y posee infinitos decimales no periódicos.

¿Qué relación tiene este número con la serie de Fibonacci?, (figura C). Veamos:

Observemos los primeros números de la serie 1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

Los dos primeros números de la serie son 1,1 y los siguientes se forman sumando los dos anteriores, así el tercer número de la serie es el 2 que resulta de sumar 1´1, el cuarto número es 3 que es la suma de 1+2, el quinto es 5 que es la suma de 2+3,

Si dividimos un número de la serie entre su antecesor tenemos:

En la segunda columna se observa que la división de los números de la serie tiende al número áureo.

La siguiente espiral obedece a la serie de Fibonacci, misma que se repite en la naturaleza (figuras A, B y D), una conexión entre las matemáticas y el mundo real.

La proporción áurea o divina proporción es la favorita de grandes artistas como Miguel Ángel y Leonardo.

Y usted, ¿cuál de las figuras geométricas mostradas al inicio eligió como la más bella? ¿Verdad que fue la de la izquierda?

 

Bibliografía

Livio, M. (2011). La Proporción Áurea. Barcelona España: Editorial Planeta