Imaginarios y complejos, tan reales como los Reales

Superciencia. Número 134

Los estudiantes de secundaria saben que la raíz cuadrada de un número es aquel número cuyo cuadrado es igual al número dado. Por ejemplo:

  • La raíz cuadrada del número 9 es el 3, porque el cuadrado de 3 es igual a 9.

Los alumnos de secundaria también conocen que si multiplicamos dos números negativos, el resultado es un número positivo. Por ejemplo:

  • -2 por -4 es igual a 8
  • -2 por -2 o -22 es igual a 4

Esto nos lleva a la conclusión que todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Ejemplo:

La raíz cuadrada de 9 es igual a tres () porque 3 por 3 igual a 9.

La raíz cuadrada de 9 también es igual a menos tres  porque -3 por -3 igual a 9.

¡Lo anterior nos enseña que los números negativos no tienen raíz cuadrada porque, como ya lo expresamos, no hay números cuyo cuadrado sea negativo. Ejemplo:

4 x 4 = 16 o 42=16

(-4) x (-4)= 16 o (-4)2=16

¡Los números negativos no tienen raíz cuadrada!, en el campo de los números reales.

Es aquí donde hacen su aparición los tres genios de las matemáticas, descubridores de “nuevos habitantes del mundo de las ideas”. Habitantes que, aparentemente no tienen conexión con “el mundo terrenal”, pero que explican maravillosamente algunos fenómenos que ocurren en este mundo. Estos matemáticos son el francés Jean Robert Argand, el noruego Gaspar Wessel y el alemán Carl Fredrich Gauss. Cada uno, en forma independiente y casi en la misma época (fines del siglo XVIII y principios del XIX), descubrieron los que serían llamados: números imaginarios y números complejos.

Los números conocidos hasta antes de estos tres matemáticos se pueden localizar en la recta: 

Estos números, los enteros positivos, los enteros negativos, el cero, los fraccionarios y los irracionales como  e,   y  , son conocidos como reales, porque se localizan en la recta y porque representan cosas físicas como 3 autos, 2/3 de naranja, longitud igual a , área igual a 4.

Los matemáticos aquí mencionados “descubrieron” que había un número al que llamaron i, este número poseía la propiedad de que ¡su cuadrado era igual a -1!  o  . A este número lo llamaron unidad imaginaria porque no se localizaba en la recta real. El número i no pertenece a los números reales, por lo tanto se encuentra en otra recta, perpendicular a la recta real, la recta imaginaria:

En el eje imaginario se localizan los números imaginarios que son i, 2i, 3i,…

El eje imaginario y el eje real determinan el plano complejo en el que se localizan los números complejos formados por la suma de un real y un imaginario. Por ejemplo:

El número complejo 2+3i

Los números imaginarios y los reales ampliaron la recta a un plano mayor, el plano de los números complejos.

Si usted quiere calcular su salario después del aumento que recibió, con trabajar con números reales basta. Si desea conocer el área de un círculo o la medida del terreno de su casa basta con los racionales e irracionales, es decir los reales. Sin embargo, los imaginarios son necesarios en electricidad, en ingeniería, en cálculo de dimensiones fractales, en tecnología digital y en muchos campos de la ciencia y la tecnología.

 

Bibliografía

Stewart, I (2008). La Cuadratura del Cuadrado. Barcelona: CRITICA