Números amigos, sociables y perfectos

Superciencia. Número 122

¿Y quién pretenderá poner límite al ingenio humano?
Galileo Galilei

Dos números A y B son amigos, si la suma de los divisorios propios de A es igual al número B y la suma de los divisores propios de B es igual al número A.

Igual que en los humanos, no cualquier par de números son amigos, estos, como los verdaderos amigos, son especiales y escasos.  

Los primeros números amigos son 220 y 284. Para saber por qué, veamos lo siguiente:

  • Los divisores propios de 220 son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 y la suma de ellos es 284
  • Los divisores propios de 284 son 1,2,4,71,142 y la suma de ellos es 220

Los números amigos 220 y 284 ya eran conocidos por Pitágoras.

Cuenta una leyenda que cierto sultán aficionado a las matemáticas pidió a un matemático notable condenado a muerte le planteara un problema de matemáticas, y le dijo que durante el tiempo que estuviese resolviendo el enigma, el matemático estaría en libertad, pero en el momento que diera con la solución, el matemático sería ejecutado. Entonces el inteligente matemático propuso encontrar otros dos números amigos diferentes de 220 y 284. El sultán no encontró otro par de números amigos y el matemático murió de viejo y en libertad.

Más de dos milenios después de Pitágoras, Pierre de Fermat y René Descartes calcularon dos nuevos pares de números amigos: (17, 294 y 18, 414) y (9, 363,584 y 9, 437,056). Curiosamente no descubrieron un par de amigos más pequeños (1,184 y 1, 210).

En el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler obtuvo 64 nuevos pares de números amigos, y a mediados del siglo XX se conocían 390 pares. Actualmente, gracias a las computadoras, la cantidad de números amigos descubiertos ha crecido enormemente. ¡La tecnología sirve para conocer a los amigos, al menos en el “mundo” de los números!

En 1918 el matemático Paul Paulet descubrió los números sociables. Estos son grupos de números cuya relación va más allá de parejas de números amigos. Los números sociables son aquellos en que la suma de los divisores del primer número es igual al segundo, la suma de los divisores del segundo es igual al tercero, esto continúa hasta el último número de “la sociedad”, cuya suma de sus divisores propios es igual al primero y así se cierra el círculo de “socios”. Los números sociables encontrados por Paulet fueron (12,496 - 14,288 - 15,472 – 14, 536 – 14,264).

Por último hablaremos de un tipo de números muy elegantes, los números perfectos. Estos números son aquellos cuya suma de sus divisores propios es igual al mismo número. 6 es un número perfecto ya que la suma de sus divisores propios es igual a 6 (1+2+3=6), 28 es un número perfecto porque la suma de sus divisores propios es igual a 28 (1+2+4+7+14=28).

San Agustín, en su libro La Ciudad de Dios, nos dice que Dios creó el Universo en 6 días por ser este un número perfecto.

Las anteriores clasificaciones de números las usan mucho las anticiencias, es por ello que debemos conocerlos y saber las reglas matemáticas o algoritmos a que obedecen y cómo se calculan, esto nos permitirá abordarlos desde una perspectiva laica y alejada de falsas concepciones.

 

Bibliografía

Montesinos, J. (2000). Historia de las matemáticas en la enseñanza secundaria. Madrid, España: Editorial Síntesis.
Clawson, C. (1999). Misterios Matemáticos. Magia y belleza de los números. México, D.F: Editorial Diana